SEMANA 11

ÁNGULOS 

En trigonometría, un ángulo es el giro o rotación que se genera a partir de dos rayos o semirrectas que se concurren en un punto fijo llamado vértice. Al rayo que permanece fijo se le denomina lado inicial y al rayo que gira se le llama lado final. 

El ángulo ∡ AOB  también se puede nombrar con la letra mayúscula de su vértice ( ∡O)   o con las letras minúsculas del alfabeto griego, ejemplo α, Β, θ como se muestra en la figura.

Se debe tener en cuenta:

1. Si el lado final gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el ángulo se considera positivo. 
2. Si el lado final gira en  el sentido  de las manecillas del reloj, entonces el ángulo se considera negativo.

• POSICIÓN NORMAL O CANÓNICA DE ÁNGULOS.

Un ángulo θ está ubicado en posición normal o canónica, si esta representado en un sistema de coordenadas cartesianas, su vértice coincide con el origen del sistema y el lado inicial coincide con el semieje positivo x, como se muestra en la figura

• ÁNGULOS ESPECIALES

En algunos problemas de trigonometría es importante tener en cuenta los distintos tipos de ángulos. Los ángulos se clasifican según su medida y según la suma de sus medidas así:

• ÁNGULOS COTERMINALES

En un ángulo, el lado final puede realizar giros cualquier número de veces y en cualquier dirección. Se debe tener presente cuando se forma un ángulo positivo y un ángulo negativo.

DEF: Dos ángulos son coterminales  si tienen los mismo lados iniciales y finales, sin importar su magnitud o sentido. 

Por ejemplo, en las siguientes figuras los ángulos cuyas medidas son 150°, 510° y -210°, son coterminales porque 

510° = 150° + (1 * 360)    y

-210 = 150° + (-1 * 360)

SEMANA 12

SISTEMA SEXAGESIMAL 

Aunque progresivamente ha sido abandonado con el paso del tiempo, el sistema sexagesimal se utilizó con profusión en el pasado para medir ángulos y resolver triángulos y funciones trigonométricas. En la actualidad, se sigue empleando en este contexto, aunque en menor medida. También quedan vestigios del mismo en el sistema horario de división del tiempo.

¿Qué es el sistema sexagesimal?

El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo ∘. 

Ejemplo

Un ángulo de 56∘ es aquel que tiene como apertura 56 veces una apertura de un grado (la unidad).

Para hacernos una idea, un grado corresponde a la apertura siguiente:

Así, para un ángulo completo, que corresponde a una vuelta completa se tienen 360∘ (360 grados).

Veamos un vídeo para entender un poco mejor:

Ahora veamos como se realiza la conversión de grados a minutos y segundos, para ello se debe tener en cuenta la representación simbólica de cada uno de ellos.

1° = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

1 vuelta = 360°

SEMANA 13

SUMA Y RESTA EN SISTEMA SEXAGESIMAL

SUMA

Para sumar en sistema sexagesimal se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se colocan verticalmente las unidades de cada clase alineando las horas o grados con las horas o grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos. Hecho esto se suma.
2. Si al sumar los segundos el resultado es mayor que 60 se divide entre 60, el cociente se añade a los minutos y el resto queda como segundos. 
3. Se hace lo mismo con los minutos.

EJEMPLO

RESTA

Para realizar una resta de elementos en sistema sexagesimal se siguen los siguientes pasos.

1. paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2. paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3. paso Hacemos lo mismo con los minutos.

EJEMPLO:

VÍDEO EXPLICATIVO

SEMANA 14

MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN SISTEMA CÍCLICO

Un ángulo central alfa o teta en una circunferencia con centro en el origen y radio r,  es aquel cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados cortan a la circunferencia en los puntos  C y B para formar el arco S.

RADIAN:

Un radián (rad) es la medida de un ángulo central que intercepta un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

Para determinar la equivalencia de un grado en radianes se realizan los siguientes pasos:

EJEMPLO:

TERCER PERIODO

SEMANAS 17 Y 18

Conversión Radianes a Grados

Ya hemos visto como se convierten algunos grados a radianes, ahora veremos como se convierten los radianes a grados, para ello daremos un ejemplo  y los demás se socializaran en la clase vía zoom.

EJEMPLO:

SEMANAS 19 Y 20

TEOREMA DE PITÁGORAS

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero. 

EJEMPLO

Una escalera de 2,5 metros de longitud está apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de dicha pared, ¿a qué altura llega la parte superior de la escalera?

Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta en la pared medida desde el suelo, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando h a la altura que alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:

La escalera llega a una altura de 2,45 metros.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea B uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

SEMANAS 21 Y 22

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIENDO UN ÁNGULO AGUDO Y UN LADO.

Hasta el momento hemos estudiado las razones trigonométricas de un angulo a partir de un triángulo rectángulo, haciendo uso del teorema de Pitágoras; ahora estudiaremos como hallar las razones de un ángulo conociendo el valor de uno de sus ángulos agudos y uno de sus lados.

Para hallar las razones inicialmente debemos conocer los valores de todos los lados del triangulo, como se puede observar en este caso no se puede usar el teorema de Pitágoras pues nos faltan datos; por tanto, hacemos uso de las razones que usen los datos que tenemos así: 

Enfoquémonos en el ángulo A, pues es el que está dado explícitamente en el diagrama. 

Observa que nos han dado la longitud de la hipotenusa, y vamos a  determinar la longitud del lado  adyacente al ángulo A. La razón trigonométrica que utiliza a estos dos lados es el COSENO.

Paso: 2:  Crea una ecuación con la razón trigonométrica del coseno y resuelve el lado desconocido.

Paso 3: Hallar el valor del lado faltante para ello usamos la razón del SENO, pues falta el cateto opuesto.

Obtenemos el siguiente triángulo:

 Paso 4:  Hallar las razones trigonométricas del angulo de 55°.

SEMANAS 23 Y 24

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIENDO UNA DE LAS RAZONES

Si tenemos una expresión que nos permita visualizar la comparación de dos de los lados de un triángulo rectángulo, podemos a partir de ella hallar las demás comparaciones, así:

CUARTO  PERIODO

SEMANAS 28 Y 29

 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de los tres lados, el valor de los dos ángulos agudos, el valor del área y el valor del perímetro. 

 Para resolver triángulos rectángulos debes saber:

• El Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

• Definiciones de las razones trigonométricas:

Sen A = Cateto opuesto / Hipotenusa

Cos A = Cateto adyacente/ Hipotenusa

Tan A = Cateto opuesto / Cateto adyacente

• La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

  
  En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos no rectos es 90º.
  
  

  Pueden darse dos casos:
  

• Si conocemos dos lados debes aplicar el Teorema de Pitágoras, después deberás aplicar las definiciones de las razones trigonométricas para calcular los ángulos.
• Si conoces un lado y un ángulo agudo deberás usar las definiciones de las razones trigonométricas.

 SEMANAS 33 Y 34 (Corte 3)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Las funciones trigonométricas f son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica y existen tantas funciones como razones.

Para el estudio de estas funciones tomaremos la siguiente guía como base para las actividades. 

1001-1002 TRIGONOMETRIA- GUIA 5- JM- AUGUSTO A ARREGOCES A-convertido.pdf