SEMANA 11

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Anteriormente se pidió la investigación acerca de los criterios de semejanza en triángulos, en este apartado se expondrán algunos ejemplos de cada criterio que ayuden a la mejor comprensión del tema.

Recordemos que un triángulo es un polígono que es una porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos y que tiene tres lados y tres ángulos.
Denotaremos cada ángulo por una letra mayúscula y los lados por letras minúsculas.

  Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivos de igual medida y sus lados son proporcionales. El signo de semejanza es ∼:

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de sus lados.

En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:

• Los ángulos homólogos son iguales:

• Los lados homólogos son proporcionales:

  

  A r se le denomina razón de semejanza.

SEMANA 12

 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos son polígonos que están formados por tres lados por lo que podemos decir que el triángulo es una figura plana que está formada por tres segmentos diferentes.

El triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto el cual tiene una medida de 90 grados y dos ángulos que son agudos, lo que quiere decir que miden menos de noventa grados. 

En esta clase de triángulos sus elementos reciben nombres especiales, como se puede observar en la siguiente figura:

Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.

Catetos

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo.

Ángulo recto

 es un ángulo de 90º que se forma por los dos catetos.

Ángulos agudos:

son los otros dos ángulos del triángulo (α y β) menores de 90º. La suma de los dos ángulos agudos es de 90º.

SEMANAS 19 Y 20

TEOREMA DE TALES 

En el siguiente vídeo encontraran cierta  información que servirá como preámbulo para entender el teorema general de tales.

SEMANAS 21 Y 22

EJEMPLO DEL TEOREMA DE TALES

Si las rectas   a  y  b  son paralelas y cortan a otras dos rectas   r   y   s , entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales:

Recuerde que a partir del teorema y la gráfica puedo hallar nuevas proporciones y/o igualdades.

EJEMPLO:

Las rectas y son paralelas. Halla la longitud de .

Aplicando el teorema de Tales, tenemos:

SEMANAS 23 Y 24

 TEOREMA DE TALES APLICADO A LOS TRIÁNGULOS

EJEMPLO :

1. 

Solución

Aquí tenemos dos triángulos, uno de estos formado por un segmento paralelo a uno de los lados del otro (precisamente el lado de longitud x). Por el primer teorema de Tales se tiene que:

2.  Usa el teorema de Tales para calcular   x .

CUARTO  PERIODO

SEMANAS 28 Y 29

CUERPOS SÓLIDOS

Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia, tienen un volumen.

Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos

POLIEDROS

• Poliedros regulares: son también conocidos como sólidos platónicos y se caracterizan por tener todas sus caras iguales. Son cinco: tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

• Prismas: están compuestos por dos bases poligonales de igual forma y tamaño y sus caras laterales son paralelogramos.

ÁREA DE LOS POLIEDROS REGULARES

Anteriormente estudiamos las áreas de las figuras planas. En este tema nos dedicaremos a estudiar las superficies que envuelven a los cuerpos geométricos o cuerpos sólidos.

Entendemos por cuerpo sólido al que ocupa un lugar en el espacio. Es decir, el que contiene las tres dimensiones (largo, ancho y alto).

Los poliedros regulares tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

Tipos de poliedros regulares

Sólo existen cinco poliedros regulares:

• Tetraedro
• Hexaedro o cubo
• Octaedro
• Dodecaedro
• Icosaedro

Tetraedro

Un tetraedro es un poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros.

Área del tetraedro

Recuerde que para hallar el área total de un tetraedro se usa la formula anterior, pero también puede hallarla mediante el Área de una de sus caras (triángulo) y multiplicar el resultado por 4 (# de caras).

Y el área total del poliedro sera:

EJEMPLO:

Hallar el área de un tetraedro regular de arista de 2 cm.

Solución:

Obteniendo que el área de un tetraedro regular de arista 2 cm es de 6,93 cm².

SEMANAS 33 Y 34  (Corte 3)

 LOS PRISMAS

Un prisma es un poliedro cuya superficie está formada por dos caras iguales y paralelas llamadas bases y por caras laterales (tantas como lados tienen las bases) que son paralelogramos. 

ELEMENTOS PRINCIPALES DE UN PRISMA

• Bases: Todos tienen dos bases, siendo ambas iguales y paralelas.
• Caras laterales: Son los paralelogramos comprendidos entre las 2 bases.
• Altura: Es la distancia entre las dos bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS

Los prismas se pueden clasificar dependiendo 4 características que lo definen. Estas características o criterios son:

1.  NÚMERO DE LADOS DE LA BASE

Los primas se pueden clasificar según el número de lados que tienen sus bases

• Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados).
• Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).
• Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).
• Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados)
• y así sucesivamente…

2. REGULAR O IRREGULAR

• Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares
• Prisma irregular: los prismas son irregulares si tienen polígonos irregulares  en su base.

3. RECTO U OBLICUO

• Prisma recto: si los ejes de los polígonos de las bases son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son cuadrados o rectángulos.
• Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de los polígonos de las bases se unen por una recta oblicua a las bases mismas.

4. CONVEXO O CÓNCAVO 

• Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos convexos.
• Prisma cóncavo: el prisma cóncavo tiene como bases dos polígonos cóncavos iguales.